A Rook Theory Model for the Generalized p, q-Stirling Numbers of the First and Second Kind

In (EJC 11 (2004), #R84), Remmel and Wachs presented two natural ways to define p, qanalogues of the generalized Stirling numbers of the first and second kind, S(α, β, r) and S(α, β, r) as introduced by Hsu and Shiue (Adv. App. Math 20 (1998), 366-384). In this paper, we present a rook theoretic model for each type of p, q-analogue based on a pair of boards parametrized by the nonnegative integers α, β, and r, so that rooks attack cells on its own board as well as on its companion board. For each model, we provide an analogue of Goldman, Joichi and White’s product formula (Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 485-492) and demonstrate how each type of the generalized p, q-Stirling numbers of the first and second kind arises as a special case of these p, q-rook numbers. Résumé. Remmel et Wachs, dans (EJC 11 (2004), #R84), ont présenté deux façons naturelles pour définir les p, q-analogues des nombres de Stirling généralisés, des première et deuxième sortes, S(α, β, r) et S(α, β, r), introduits par Hsu et Shiue (Adv. App. Math 20 (1998), 366-384). Dans cet article, nous présentons un model théorique des mouvements de la tour pour chaque type des p, q-analogues basé sur une paire de jeux paramétrisés par les entiers non-négatifs α, β, et r. Ainsi, la tour attaque les cases sur son propre jeu et celles de l’autre jeu. Pour chacun des modèles, nous donnons une formule analogue à celle du produit de Goldman, Joichi et White (Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 485-492) et démontrons comment chaque type de p, q-analogues des nombres de Stirling généralisés des première et deuxième sortes forment un cas spécial de nombres p, q-analogues pour les mouvements de la tour.